El Lìmite de la Matemàtica

 INTRODUCCIÓN A LÍMITE

Recuerda que una función real de variable real suele venirnos dada por una fórmula y = f(x) y ésta, con cada valor numérico de la x, nos da un solo valor de la y, o ninguno. Los valores de la x que proporcionan un valor para la y constituyen lo que se llama el dominio de la función f; los valores obtenidos para la y forman lo que se llama recorrido de f, o materiales/limites/limites_concept/imagen de f. Si un valor de x nos da un valor de y, entonces decimos que f está definida en x; de lo contrario, se dice que f es una función no definida en x.	Ejemplo La fórmula siguiente define una función: Dicha función no está definida en x=9, ya que el valor de la y es incalculable (observa que y = 3/0, operación imposible). Los valores de x negativos no darán ningún resultado para la y; por tanto, no son puntos del dominio. El dominio lo formarían todos los positivos, excepto el x=9
Los valores de la x se señalan sobre un eje horizontal, y los correspondientes de la y, sobre un eje vertical. Así, se obtiene en el plano una línea de puntos, que se llama gráfica de la función f. Naturalmente, el dominio de f quedará representado como una parte del eje horizontal, y el recorrido como una parte del eje vertical. Los valores de x son números reales, pero, como se identifican con los puntos del eje horizontal, suelen llamarse también puntos. Así, por abuso de lenguaje, se habla del punto x=3, del punto x=-1,4, etc.	Ejemplo
Cuando hablemos de un entorno de un punto, por ejemplo, de un entorno de x=3, estaremos queriendo decir un intervalo del tipo 3-r < x < 3+r. Por ejemplo, un entorno de x=3 es el intervalo 2<x<4; también lo es el intervalo 0<x<6, etc, intervalos que suelen indicarse así: ]2,4[, ]0,6[, etc.	Ejemplo

A partir de aquí, nos referiremos siempre a un punto fijo x=a, y supondremos que cualquier función considerada está definida en todos los puntos de algún entorno de a, salvo posiblemente en el propio a.

Sobre el concepto de límite en un punto
Quizá uno de los conceptos matemáticos del Bachillerato que más te cueste llegar a comprender bien sea el de límite de una función en punto. Nos referimos a la total comprensión de igualdades tales como:

Lo cierto es que cuando se ha llegado a entender bien una de ellas, se entienden todas (x®a se lee diciendo "x" tiende a "a"; x® ¥ se lee "x" tiende a "infinito"). Éstas son algunas de las definiciones:

La igualdad es la forma elegida para resumir la siguiente idea: "Los valores f(x) quedan tan cercanos a L como se desee, sin más que tomar los valores de x suficientemente cerca de a" En lenguaje matemático, eso se expresa así: Fíjate en la sucesión de figuras que sigue, para entender esta definición.

La igualdad es la forma elegida para resumir la siguiente idea: "Los valores f(x) quedan tan cercanos a L como se desee, sin más que tomar los valores de x suficientemente cerca de a, y menores que a" Observa la sucesión de figuras adjuntas, para entender mejor esa idea.

http://www.xtec.cat/~fgonzal2/limites_concept.htm
1.  En caso de existir Lim f(x) y Lim g(x),  "si se cumple f(x) £ g(x) para todo x de un entorno de a, entonces Lim f(x) £ Lim g(x)"

	Aún más: Si en un entorno de a se cumplen y , entonces también tiene el mismo límite (teorema de la función cercada)
2.  Si Lim f(x) > 0, entonces hay algún entorno de a en el cual f(x) es positivo para cada x ¹ a
3. Si existen Lim f(x) = L, y Lim g(x) = M, entonces	Ejemplos Si Lim f(x) = 3 y Lim g(x) = -5, entonces, sean cuales sean las expresiones de f(x) y g(x), se obtendrá que
4. Si en la propiedad 3, las letras L o M representan un infinito, entonces al usar las reglas a, b, c, d, e, hay que tener en cuenta estas igualdades: Reglas de cálculo con infinitos (L real) 4.1       4.2 Las siguientes expresiones dependen de las funciones f(x), g(x) que las originan; por eso, se llaman indeterminaciones, y las indicamos con interrogante. (Mira en el ejemplo adjunto el porqué de algunas)	Ejemplos Si Lim f(x) = 3 y Lim g(x) = + ¥, entonces, sean cuales sean las expresiones de f y g, se cumplirán Ejemplo sobre la indeterminación 0· ¥ Imaginemos que x® 2. Pongamos Es obvio que Sin embargo

http://www.xtec.cat/~fgonzal2/limites_propied.htm